Matrices et systèmes linéaires

Matrice et système linéaire

Matrices et systèmes d’équations linéaires

Définition

On considère le système d’équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1   \\ \end{array} \right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :

$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$   ;  $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $   et

  $B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}.  $ 

Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

Propriété

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} \times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :

$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.

Résoudre le système d’équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}2x-y & = &-8   \\3x+y& = &-7   \\ \end{array} \right.$ 

On peut le traduire par  $AX=B$ avec : 

$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$   ;   $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
\end{pmatrix} $    et   

$B =\begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}$.

En considérant $A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$, on vérifie que :

$ad-bc =5 \neq 0$.

On peut alors calculer :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$   

$\iff$   $A^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.

On a donc :

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-\dfrac{15}{5} \\
\dfrac{10}{5}\\
\end{pmatrix}$.

$X=\begin{pmatrix}
-3 \\
2\\
\end{pmatrix}$.

La solution du système est le couple $(-3;2)$