Méthodes : déterminer des équations de droites avec le vecteur directeur

Déterminer l'équation d'une droite définie par deux points

Déterminer l'équation d'une droite définie par un point et un vecteur directeur

Déterminer l'équation d'une droite passant par un point et parallèle à (d')

Déterminer l’équation d’une droite passant par un point et parallèle à $(d’)$

1) Critère de colinéarité 

Soit $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{i})$ une base orthonormée et $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ y _1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x_2 \\ y _2 \end{array} \right )$ deux vecteurs exprimés dans cette base.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si det($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $ \left| \begin{array}{cc} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{array} \right| = x_1y_2 – y_1x_2 = 0$

2) Equations de droite 

$ax + by + c = 0$ est une équation cartésienne de la droite $(d)$ et $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} -b \\ a \end{array} \right )$ est un vecteur directeur de $(d)$. 

$y = mx + p$ est l’équation réduite de la droite $(d’)$ et $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ m \end{array} \right )$ est un vecteur directeur de $(d’)$. 

3) Application à la détermination d’une équation d’une droite passant par un point et parallèle à $(d’)$

On souhaite déterminer l’équation cartésienne (puis réduite) de la droite $(d)$ passant par le point $A(3; 2)$ et parallèle à la droite $(d’)$ d’équation $y = 2x – 1$. 

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. 

On détermine donc un vecteur directeur de la droite $(d’)$ par application de la propriété du cours : $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ m \end{array} \right )$ donc $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right )$.

Soit $M(x; y)$ un point du plan,

Si $M \in (d)$; le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est alors un vecteur directeur de la droite $(d)$, il est donc colinéaire à $\overrightarrow{u}$.

Ainsi $M \in (d) \iff $ det($ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = 0 \iff \left| \begin{array}{cc} 1 & x – 3\\ 2 & y – 2 \end{array} \right| = 0 \iff 1 \times (y – 2) -2 (x – 3) = 0 \iff -2x + y – 2 + 6 = 0 \iff -2x + y  + 4 = 0$. 

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $-2x + y + 4 = 0$.

En isolant $y$ dans l’équation précédent, on trouve $y = 2x – 4$ qui est l’équation réduite de la droite $(d)$. 

On souhaite déterminer l’équation cartésienne (puis réduite) de la droite $(d)$ passant par le point $A(1; 2)$ et parallèle à la droite $(d’)$ d’équation $y = 3x + 5$. 

Soit $M(x; y)$ un point du plan,

Ainsi $M \in (d) \iff $ det($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = 0$

$ \iff \left| \begin{array}{cc} 1 & x – 1\\ 3 & y – 2 \end{array} \right| = 0 \iff 1 \times (y – 2) -3(x – 1) = 0 $

$\iff -3x + y – 2 + 3 = 0 \iff -3x + y  + 1 = 0$. 

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $-3x + y + 1 = 0$.

En isolant $y$ dans l’équation précédent, on trouve $y = 3x – 1$ qui est l’équation réduite de la droite $(d)$.