$exp (x+y) = exp(x)times exp(y)$. Nombre $e$, notation $e^x$
$exp (x+y) = exp(x)times exp(y)$. Nombre $e$, notation $e^x$
$\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$. Nombre $e$, notation $e^x$
Propriété:
Soient $a$ et $b$ deux réels,
alors $\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$
Démonstration :
Soit $b$ un réel quelconque,
On définit la fonction $g$ pour tout réel $x$ par $g(x) = \dfrac{\exp(x+b)}{\exp(b)} $.
En outre, par le calcul, on trouve que $g(0) = \dfrac{\exp(0+b)}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(b)}{\exp(b)} = 1$.
De plus, $g'(x) = g(x)$.
Or par définition, la fonction exponentielle est l’unique fonction vérifiant $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.
Ainsi, $g(x) = \dfrac{\exp(x+b)}{\exp(b)} = \exp(x)$.
En particulier, pour $x = a$, on trouve $\dfrac{\exp(a+b)}{\exp(b)} = \exp(a)$ c’est à dire $\exp(a+b) =\exp(a) \exp(b)$.
Autres propriétés
A partir de la formule précédente, on peut démontrer les formules suivantes.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
$\exp(x) \times \exp(-x) = \exp(x – x) = \exp(0) = 1$
$\exp(nx) = (\exp(x))^n$ avec $n$ un entier naturel
$\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$
$\exp(n) = (\exp(1))^n$ pour $n$ un entier naturel.
Pour simplifier l’écriture, on notera $\exp(1) = e$, c’est un nombre irrationnel qui vaut environ $e \approx 2,718$.
Ainsi, $\exp(n) = e^n$.
On admettra que cette propriété est vraie pour tout réel $x$ :
$\exp(x) = e^x$.
La fonction exponentielle est donc devenue une fonction puissance de nombre $e$, dont on connait déjà les propriétés.
$e^0 = 1$, $e^1 = e$
$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ pour tous réels $a$ et $b$.