Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle 

Rappels

On considère dans tout le chapitre deux nombres réels $a$ et $b$.

Pour rappel, la fonction exponentielle se note $\exp(a)$ ou $e^a$.

Les propriétés de la fonction exponentielle sont les mêmes que celles des puissances.

L’exponentielle est strictement positive : ainsi, $e^a > 0$. 

$\exp(0) = e^0 = 1$

$\exp(1) = e^1 = e \approx 2,718$

Exponentielle d’une somme

$\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$

Ou encore  :   $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$

Exemple : 

$e^{2} \times e^{4} = e^{2 + 4}  = e^{6}$

$e^{7} \times e^{-11} = e^{7-11}  = e^{-4}$

Exponentielle d’une différence

$\exp(a) \exp(-a) = \exp(a – a) = \exp(0) = 1$

$\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$

$\exp(a – b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$

Démonstration 

$\exp(a – b) = \exp(a) \exp(-b) $

$\exp(a – b) = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} $

$\exp(a – b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$.

Exponentielle d’une puissance

Soit $n$ un entier relatif,

$\exp(na) = (\exp(a))^n$   ou encore : 

$e^{na} = {(e^a)}^{n}$

Exemple 

On souhaite simplifier l’expression de la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \dfrac{\exp(-3x) \times \exp(2x -1)}{(\exp(x + 2))^2}$. 

$\begin{aligned}f(x) &=& \dfrac{\exp(-3x) \times \exp(2x -1)}{(\exp(x + 2))^2}\\ &=&  \dfrac{\exp(-3x + (2x – 1))}{(\exp(x + 2))^2} \\ &=& \dfrac{\exp(-x – 1)}{(\exp(x + 2))^2} \\ &=& \dfrac{\exp(-x – 1)}{\exp(2\times(x + 2)} \\ &=& \dfrac{\exp(-x – 1)}{\exp(2x + 4 } \\ &=&\exp(-x – 1 – (2x + 4)) \\  &=&\exp(-3x – 5) \end{aligned} $

On peut aussi utiliser la notation $e^x$. 

$\begin{aligned}f(x) &=& \dfrac{e^{-3x} \times e^{2x -1}}{({e^{x + 2})}^2}\\ &=&  \dfrac{e^{-3x + (2x – 1)}}{{(e^{x + 2})}^2} \\ &=& \dfrac{e^{-x – 1}}{{(e^{x + 2})}^2} \\ &=& \dfrac{e^{-x – 1}}{e^{2\times(x + 2)}} \\ &=& \dfrac{e^{-x – 1}}{e^{2x + 4 }} \\ &=& e^{-x – 1 – (2x + 4)} \\  &=& e^{-3x – 5} \end{aligned} $