Parallélogramme : propriétés
Parallélogramme : propriétés
I. Propriétés d’un parallélogramme
Quelles sont les propriétés d’un parallélogramme ?
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- ses côtés opposés sont parallèles (par définition) ;
- ses côtés opposés ont la même longueur ;
- ses diagonales se coupent en leurs milieux.
Exemple :
Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors :
$(AB)//(CD)$ et $(BC)//(AD)$ car ses côtés opposés sont parallèles ;
$AD = BC$ et $AB = CD$ car ses côtés opposés ont la même longueur.
Les diagonales sont les segments $[AC]$ et $[BD]$.
Leur point d’intersection $I$ est le milieu des deux segments. Ce point est le centre de symétrie du parallélogramme.
II. Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il s’agit de vérifier que le quadrilatère vérifie une seule des propriétés suivantes :
1) Les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Exemple : si $(IJ)//(LK)$ et $(IL)//(JK)$ alors, $IJKL$ est un parallélogramme.
2) Les côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
Exemple : si $IJ = LK$ et $JK = IL$ alors $IJKL$ est un parallélogramme.
3) Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Exemple : si $IJ = LK$ et $(IJ)//(LK)$ OU $IL = JK$ et $(IL)//(JK)$ alors $IJKL$ est un parallélogramme.
4) Les diagonales se coupent en leur milieu.
Exemple : si $P$ est le point d’intersection des diagonales $[IK]$ et $[JL]$ et les coupent en leur milieu, alors $IJKL$ est un parallélogramme.
Conclusion : La propriété à utiliser dépendra donc de l’exercice et des données dont on dispose.