Puissance d’une matrice

Puissance d'une matrice

Puissance d’une matrice carrée

Définition : matrice diagonale $D_n$

Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.

$D_3=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice diagonale $D_n$

Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :

$D_3^{2}=\begin{pmatrix}
3^2 & 0 & 0 \\
0 & (-1)^2 & 0\\
0 & 0 & 2^2\\
\end{pmatrix} $    $\iff$   $D_3^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 4\\
\end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice carrée

De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $n\geqslant {2}$ 

$A^2= A \times A$;

$A^3= A^2 \times A =A \times A^2$

$A^n= A^{n-1}\times A=A\times A^{n-1}$

Exemple

Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.

$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$ 

$A^2 =\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
9 & -2\\
\end{pmatrix}$ 

$A^3 =\begin{pmatrix}
-7 & -4 \\
12 & -11\\
\end{pmatrix}$