Puissances de 10
Puissances de 10
Puissances de 10
Définition
Soit $n$ un entier,
alors $10^n = 10 …. 0$, $n$ correspondant au nombre de 0.
Par exemple $10^5 = 100 000$.
De même, $10^{-n}$ s’écrit sous la forme $0,0 … 01$ où $n$ correspond au nombre de 0.
Par exemple, $10^{-2} = 0,01$
Propriétés
Le calcul à l’aide des puissances de 10 se fait en utilisant quelques règles.
La première règle renvoie à la multiplication de puissances de 10 :
Soient $m$ et $p$ deux entiers relatifs,
Alors $10^m \times 10^p = 10^{m+p}$
Par exemple,
$10^2 \times 10^5 = 10^{2+5} = 10^{7}$
ou encore $10^{3} \times 10^{-4} = 10^{3-4} = 10^{-1}$.
La deuxième règle renvoie à la division de puissances de 10 :
Soient $m$ et $p$ deux entiers relatifs,
Alors $\dfrac{10^m}{10^p} = 10^{m} \times 10^{-p} = 10^{m-p}$.
Ainsi, en passant du dénominateur au numérateur, la puissance de 10 change de signe à l’exposant.
Par exemple,
$\dfrac{10^5}{10^8} = 10^{5} \times 10^{-8} = 10^{5-8} = 10^{-3}$.
La dernière règle est la suivante :
Soient $m$ et $p$ deux entiers relatifs,
Alors $(10^m)^p = 10^{m \times p}$.
Par exemple,
$(10^5)^3 = 10^{5 \times 3} = 10^{15}$.
En physique ou en mathématiques, les puissances de 10 sont utilisées pour faciliter l’écriture des nombre.
$10^9$ : giga dont le symbole est G.
$10^6$ : méga dont le symbole est M.
$10^3$ : kilo dont le symbole est k.
$10^{-3}$ : milli dont le symbole est m.
$10^{-6}$ : micro dont le symbole est $\mu$
$10^{-9}$ : nano dont le symbole est n.
Lien avec les sciences
Que vaut une année lumière en km ?
La lumière parcourt 300 000 000 mètres par seconde environ. Une année est constituée de 32 000 000 secondes.
On commence tout d’abord par exprimer ces deux écritures en produit d’un nombre entier par une puissance de 10.
Ainsi, la distance parcourue par la lumière contient un 3 et huit 0, ainsi, $300 000 000 = 3 \times 10^8$ m/s.
De même, $32 000 000$ s’écrit avec 32 puis six 0, donc $32 000 000 = 32 \times 10^6$ s.
On cherche ensuite à calculer une année lumière, c’est à dire la distance parcourue par la lumière en une année.
Pour cela, on se rappelle que la distance $D$ est donnée par la formule $D = V \times T$ où $V$ est la vitesse et $T$ le temps.
Ainsi, $D = 3 \times 10^8 \times 32 \times 10^6$, c’est à dire le produit de la vitesse de la lumière part la durée en seconde d’une année.
$D = 3 \times 10^8 \times 32 \times 10^6 = 96 \times 10^{8+6} = 96 \times 10^{14}$ mètres.
On peut enfin convertir cette distance en kilomètres.
On sait pour cela que $1$ km = $10^3$m. En divisant à gauche et à droite par $10^3$ on garde l’égalité.
Ainsi, on obtient $\dfrac{1}{10^3}$ km = $\dfrac{10^3}{10^3}$ m
ou encore en appliquant la deuxième règle $10^{-3}$ km = $1$ m.
Finalement, une année lumière = vaut :
$96 \times 10^{14}$ m = $96 \times 10^{14} \times 1$ m = $96 \times 10^{14} \times 10^{-3}$ km = $96 \times 10^{14 – 3}$km $ = 96 \times 10^{11}$ km.