Raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence
Principe
Considérons une chaîne de dominos, faire tomber un domino entraîne son plus proche voisin dans sa chute et ainsi de suite.
Le raisonnement par récurrence utilise ce principe. Il existe des conditions pour que l’ensemble des dominos tombe.
Il faut, dans un premier temps, pousser le premier domino et dans un second temps, il faut être certain que la chute de n’importe quel domino entraîne le suivant.
Mathématiquement, $P_n$ désigne une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et on souhaite démontrer que $P_n$ est vraie.
Le raisonnement par récurrence se divise en deux parties.
I. Initialisation
La première est l’initialisation : il faut vérifier que $P_0$ ou $P_1$ est vraie c’est-à-dire que la propriété est vraie pour $n=0$ ou $n=1$ (et par analogie, il faut pousser le premier domino).
II. Hérédité
La deuxième est l’hérédité : on suppose que $P_n$ est vraie pour un certain $n$ et on démontre que $P_{n + 1}$ est vraie (par analogie, on considère que le $n^\text{ème}$ domino tombe et on cherche à savoir si le domino suivant, le $(n + 1)^\text{ème}$, tombe également).
En ayant prouvé ces deux parties, cela prouve l’ensemble de la propriété pour tout entier $n$ (tous les dominos tombent).
Raisonnement par récurrence - Exercice
Exercice
Démontrer que pour tout $n\geq 1$ :
\(1 + 2+ 3 + … + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
- Étape 1 : Initialisation. On vérifie que la proposition est vraie au rang 1.
- Étape 2 : Hérédité. On suppose que la proposition est vraie au rang n et on vérifie qu’elle l’est au rang n + 1.