Réciproque d’une fonction
Réciproque d’une fonction
I. Définition de la réciproque d’une fonction
Quelle est la définition de la réciproque d’une fonction ?
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle,
On appelle fonction réciproque de $f$, la fonction $g$ telle que :
$g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
Les courbes des deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$.
Exemples :
Pour $x > 0$, $e^{\ln(x)}=\ln(e^x) = x$.
Graphiquement, on remarque que les courbes sont symétrique par rapport à la droite d’équation $y = x$.
Pour $x \geq 0$, $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2 = x$.
On observe à nouveau la propriété de symétrie.
II. Exercice
Déterminer la fonction réciproque de $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 3$
$f$ est une fonction affine qui est strictement décroissante. En outre $f$ est continue.
La méthode consiste à poser $y = f(x)$ puis à isoler $x$.
On pose $y = f(x)$
$\iff y = -2x +3$
$\iff y-3 = -2x$
$\iff \dfrac{y-3}{-2} = x$
soit $x = -\dfrac{1}{2}y + \dfrac{3}{2}$
Donc $g(x) =-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ est la fonction réciproque de $f$.