Equations et nombres complexes
Equations et nombres complexes
Résolution d’équations avec des nombres complexes
Equations du premier degré
Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :
$\bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.
$\bullet$ $az+b\bar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.
Exemple
Trouver la ou les solutions de l’équation $(E) : z-\bar z+i=0$.
On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l’équation $(E)$ :
$(a+ib)-\overline{(a+ib)}+i=0 \Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 \Leftrightarrow 2ib=-i \Leftrightarrow b=-\dfrac12$
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s’écrivant :
$z=a-\dfrac12 i$, avec $a$ réel.
Equations du second degré
La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :
$\boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.
La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :
$\Delta=b^2-4ac$
Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :
$\bullet$ Si $\Delta >0$, les deux solutions réelles sont : $z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\bullet$ Si $\Delta=0$, la solution est $z_0=-\dfrac{b}{2a}$.
$\bullet$ Si $\Delta<0$,les deux solutions complexes sont : $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Exemple
Trouver les solutions de l’équation : $(F) : z^2+4z+\dfrac{25}{4}=0$.
On a $\Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :
$z_1=\dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=\dfrac{-4-3i}{2}$.
Equations et nombres complexes - Exercice 1
Equations et nombres complexes - Exercice 2
Exercice
On veut résoudre l’équation \( -z + 2 \bar{z} – 3 + i = 1 \).
Étape 1 : On pose \(z = a + ib\). On en déduit son conjugué \( \bar z = a – ib\).
Étape 2 : On remplace \(z\) et \( \bar z \) par leurs valeurs respectives.
Étape 3 : On sait que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
Étape 4 : On présente les résultats comme un ensemble de solutions.
Equations et nombres complexes - Exercice 3
Exercice
On veut résoudre l’équation \( z^2 + z + 1 = 0 \).
Étape 1 : On calcule le discriminant \(\Delta= b^2-4ac\)
Étape 2 : On se met dans le cas d’un discriminant négatif et on définit les solutions \(z_1\) et \(z_2\) de l’équation.
Étape 3 : On présente les résultats comme un ensemble de solutions.