Statistiques : médiane et étendue
Statistiques : médiane et étendue
Statistiques – médiane et étendue
I) L’étendue
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série.
II) Médiane
La médiane d’une série est un nombre $M$ tel que au moins $50\%$ des données sont inférieures ou égales à $M$ et au moins $50\%$ des données sont supérieures ou égales à $M$.
Il s’agit d’un nombre central à la série qui sépare cette dernière en deux groupes de mêmes effectifs, ceux dont la valeur est égale ou plus petite que la médiane et ceux dont la valeur est égale ou plus grande que la médiane.
Exemple avec un effectif pair :
1) On dipose de la série statistique suivante :
$7, 9, 12, 15, 8, 11$
La première étape consiste à ordonner la liste dans l’ordre croissant.
$7, 8, 9, 11, 12, 15$
L’étendue vaut alors
$e=15 – 7 = 8$.
La seconde étape consiste à calculer l’effectif total, c’est à dire compter le nombre d’individus.
L’effectif est donc $N = 6$.
On divise ensuite l’effectif total pour séparer la série en deux groupes de même effectif.
$\dfrac{N}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$.
On sépare ainsi l’effectif en deux groupes de trois individus. La médiane est donc le nombre compris entre le troisième et le quatrième individu.
Ici, la troisième valeur est $9$ et la quatrième est $11$.
La médiane est donc comprise entre $9$ et $11$. En général, on prend la moyenne de ces deux nombres, c’est à dire $10$.
Ainsi, $Me = 10$.
Exemple avec un effectif impair :
On dispose de la série statistique suivante, représentée sous la forme d’un tableau.
| Notes | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 10 |
| Effectifs | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 |
Ce tableau signifie que une personne a obtenu $2$, quatre personnes ont obtenu $3$, etc.
L’étendue vaut $e=10 – 2 = 8$.
La série est déjà classée par ordre croissant.
L’effectif total s’obtient en additionnant tous les effectifs.
$N = 1 + 4 + 3 + 5 + 3 + 1 = 17$.
On calcule ensuite la moitié de l’effectif (ajouté de $1$ car l’effectif est impair)
$\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$.
Pour trouver la neuvième valeur, on calcule l’effectif cumulé croissant en faisant la somme des effectifs au fur et à mesure.
| Notes | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 10 |
| Effectifs | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 |
| Effectifs cumulés croissant | 1 | 5 | 8 | 13 | 16 | 17 |
Ainsi, la neuvième valeur est égale à $7$.
$Me=7$
Cela signifie que au moins $50\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $7$ et $50\%$ des données sont supérieures ou égales à $7$.