Les suites géométriques
Les suites géométriques
Définition
Soit $q$ un réel et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à valeurs réelles.
On dit que $(u_n)$ est une suite géométrique si, et seulement si :
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=q\times u_n$
$ u_0 \underset{\times q}{\longrightarrow} u_1 \underset{\times q}{\longrightarrow} u_2 \underset{\times q}{\longrightarrow} \cdots \underset{\times q}{\longrightarrow} u_{n-1}\underset{\times q}{\longrightarrow} u_n \underset{\times q}{\longrightarrow} u_{n+1}$
On dit alors que $q$ est la raison de la suite géométrique $(u_n)$ et $u_0$ son premier terme.
Expression de $u_n$ en fonction de $n$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.
Si $u_0$ est le premier terme de la suite $(u_n)$, on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$,
$u_n=u_0\times q^n$.
On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :
$u_n=u_p\times q^{n-p}$ avec $p\leqslant n$.
Somme de termes consécutifs
On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique $(u_n)$.
La somme se calcule de la manière suivante :
$\text{Somme}=\text{(1er terme)} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
Comportement asymptotique d'une suite géométrique
Comportement asymptotique d’une suite géométrique
I) Inégalité de Bernoulli
Enoncé :
Pour tout réel $a$ positif,
Pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$(1+a)^n \geq 1 +na$
Il convient de connaître la démonstration de cette inégalité à l’aide du principe de récurrence.
Démonstration :
Soit $a \in \mathbb{R}_+$,
Initialisation :
On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$.
Pour $n = 0$, $1 + 0 \times a = 1$ et $(1+a)^0 = 1$ par définition.
Or $1 \geq 1$ donc $(1+a)^0 \geq 1 + 0 \times a$
La propriété est donc initialisée.
Hérédité :
Soit $n \in \mathbb{N}$,
On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.
Cela signifie donc que $(1+a)^n \geq 1 + na$ (c’est l’hypothèse de récurrence).
Alors $(1 + a)^{n+1} \geq (1+a)(1+a)^n$.
Or on sait d’après l’hypothèse de récurrence que :
$(1+a)^n \geq 1 + na$ , c’est à dire :
$(1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1 + na)$ car $(1 + a) > 0$.
En outre,
$(1+a)(1 + na) = 1 + na + a + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$.
Or $na^2 \geq 0$ donc,
$1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$.
Finalement, on vient de montrer que :
$(1 + a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$.
La propriété est donc vraie au rang $(n+1)$.
D’après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $ n \in \mathbb{N}$.
Ainsi, Pour tout réel $a$ positif, Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 +na$
II) Limite de $q^n$ lorsque $n \to +\infty$
On distingue différents cas selon la valeur de $q$.
- Si $q > 1$
On pose alors $a = q – 1 >0$, donc $q = 1 +a $.
Ainsi, pour $n \in \mathbb{N}$, $q^n =(1 + a)^n \geq 1 + na$ (car $a > 0$) d’après l’inégalité de Bernoulli.
Par positivité de $a$, on sait que $\lim \limits_{n \to + \infty} ( 1 + na) = + \infty$.
Par comparaison, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = + \infty$
- Si $-1 < q < 1$
On remarque alors que $|q| < 1$.
Supposons tout d’abord que $q \neq 0$.
Dans ce cas, $\dfrac{1}{|q|} > 1$.
Par application directe du résultat précédent,
$\lim \limits_{n \to + \infty} \left ( \dfrac{1}{|q|} \right ) ^n =\dfrac{1}{|q|^n} = + \infty$.
Par passage à l’inverse, il vient que $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.
Enfin, lorsque $q = 0$, la suite est constamment nulle et sa limite vaut donc 0.
Ainsi, lorsque $-1 < q < 1$ , $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.
- Si $q = 1$
Alors $q^n =1 $ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ainsi, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 1$
- Si $q = -1$
On remarque que lorsque $n$ est pair, c’est à dire lorsqu’il s’écrit sous la forme $n = 2p$ avec $p$ un entier naturel, alors
$q^n = q^{2p} = {((-1)^2)}^p = 1^p = 1$.
Ainsi, $\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p} =1$.
De même, lorsque $n$ est impair, c’est à dire lorsqu’il s’écrit sous la forme $n = 2p + 1$ avec $p$ un entier naturel, alors
$q^n = q^{2p + 1} = {((-1)^2)}^p \times (-1) = 1^p\times (-1) = -1$.
Ainsi, $\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p+1} =-1$.
Ainsi, comme la suite prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$, elle ne peut converger : la suite n’admet donc pas de limite.
- Si $q < -1$
Alors $q^2 > 1$
Ainsi, la suite $q^{2p}$, $p \in \mathbb{N}$ par application du premier cas a pour limite
$\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p} = +\infty$.
De même,
$\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p+1} =\lim \limits_{p \to + \infty} q \times q^{2p} =- \infty$ car $q$ est négatif.
Ainsi, comme la suite prend alternativement des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, elle ne peut converger : la suite n’admet donc pas de limite.
Pour résumer :
- Si $q > 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = + \infty$
- Si $-1 < q < 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$
- Si $q = 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 1$
- Si $q = -1$, $(q^n)$ n’a pas de limite, c’est une suite bornée
- Si $q < -1$, $(q^n)$ n’a pas de limite.