Le symbole sigma
Le symbole Sigma $\Large\Sigma$ permet de désigner la somme d’une famille finie de termes.
Par exemple $ \sum\limits_{k = p}^q U_k=U_p + U_{p + 1} +\ … +\ U_q$.
En effet, ici on souhaite calculer la somme des $U_k$ où $k$ est l’indice de sommation, pour $k$ variant de $p$ à $q$, avec $p, q \in \mathbb{N}$ et $p \leq q$.
Considérons un exemple concret : $ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i$ qui se lit somme de $3^i$ pour $i$ variant de 1 à 5
$ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i=3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$.
$ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i=3+9+27+81+243=363$
On remarquera que l’indice de sommation est muet, il n’intervient pas dans le résultat final : on peut donc prendre la lettre que l’on souhaite ($k, i, …$).
Ainsi, $ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i= \sum\limits_{k = 1}^5 3^k= \sum\limits_{j = 1}^5 3^j$
Autre exemple :
$ \sum\limits_{i = 0}^3 2i-1= (2\times 0 -1)+(2\times 1 -1)+(2\times 2 -1)+(2\times 3 -1)$
$ \sum\limits_{i = 0}^3 2i-1=-1+1+3+5=8$
Le symbole sigma - Exercices 1 et 2
Exercice 1 :
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=-5}^{-2} 4k\).
- Étape 1 : On explicite chaque terme de la somme.
- Étape 2 : On simplifie et on calcule la somme.
Exercice 2 :
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^7 (-1)^{k+1}\).
- Étape 1 : De la même manière, on explicite chaque terme de la suite.
- Étape 2 : On simplifie et on calcule la somme.
Le symbole sigma - Exercices 3 et 4
Exercice 3 :
Exprimer avec le symbole \(\sum\) l’expression
\(U_2 + U_4 + … + U_50\).
- Étape 1 : On cherche à trouver les bornes de variation de l’indice \(k\) et la façon d’exprimer la suite.
- Étape 2 : Pour retrouver tous les rangs pairs, on exprime la suite sous la forme \(2k\).
- Étape 3 : On définit les bornes de la somme pour que la suite commence à \(U_2\) et termine à \(U_50\).
Exercice 4 : Exprimer avec le symbole \(\sum\) l’expression \(1 – 3 + 9 – 27 + 81 – … – 2187\).
- Étape 1 : On reconnaît une suite de puissance de 3.
- Étape 2 : Pour correspondre à la somme proposée, on utilisera les puissances de \(-3\).
- Étape 3 : On définit les bornes de la somme pour qu’elle commence à 1 (ou \((-3)^0\)) et termine à -2187 (ou \((-3)^7\)).