Variance de variables aléatoires
Variance de variables aléatoires
Variance
Propriétés :
Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_i$ de probabilité $p_i$ et Y une variable aléatoire qui prend les valeurs $y_i$ de probabilité $q_i$.
On a alors :
$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
$V(aX)=a^2V(X)$ avec $a \in\mathbb R$
Rappel:
$V(X)= \sum p_i(x_i-E(X))^2$
Exemple:
On place au hasard 2 billes jaunes et rouges dans 2 boites A et B.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de billes dans la boite A et Y donnant le nombre de boites vides.
Il y a donc 4 cas de figure possible : Les deux billes dans A, les deux billes dans B, ou la jaune dans A et la rouge dans B ou vice-versa.
On en déduit donc la loi de probabilité de la variable aléatoire X et celle de Y :
X donne le nombre de billes dans A : X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $p_i$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ |
Et par le calcul :
$E(X)=1$
$V(X)=\dfrac{1}{2}$
Y donne le nombre de boite vide : Y peut prendre les valeurs 0 ou 1.
| $y_i$ | $0$ | $1$ |
| $q_i$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
$E(Y)=\dfrac{1}{2}$
$V(Y)=\sum q_i(y_i-E(Y))^2$
$V(Y)=\dfrac{1}{2}(0-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{2})^2$
$V(Y)=\dfrac{1}{4}$
Si maintenant on s’intéresse à la variable aléatoire X+Y, on peut directement appliquer $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.
$V(X+Y)= V(X)+V(Y) $
$V(X+Y)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}$
$V(X+Y)=\dfrac{3}{4}$