Variance et écart-type
Variance et écart-type
Variance et écart-type
Définitions
Considérons la série statistique suivante donnée sous forme d’un tableau.
| Valeurs | $x_1$ | $x_2$ | … | $x_p$ |
| Effectifs | $n_1$ | $n_2$ | … | $n_p$ |
Sur la première ligne figurent les valeurs de la série et sur la seconde les effectifs.
L’effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs : $N = n_1 + n_2 + … + \ n_p$.
La moyenne $\overline{x}$ est égale à
$\overline{x} = \dfrac{n_1\ x_1 +\ n_2\ x_2 +\ … \ +\ n_p\ x_p}{N}$.
La variance $V$ vaut
$V = \dfrac{n_1 \ (x_1 – \overline{x})^2 + n_2 \ (x_2 – \overline{x})^2 + \ … \ + n_p \ (x_p – \overline{x})^2}{N}$.
L’écart type noté $\sigma$ correspond à la racine carrée de la variance :
$\sigma = \sqrt{V}$.
Exemple :
Considérons la série statistique suivante donnant les notes d’élèves ainsi que les effectifs correspondant:
| Notes | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ |
| Effectifs | $2$ | $2$ | $1$ | $1$ |
Ainsi deux élèves ont eu 8, deux élèves ont eu 9.
L’effectif total est $N = 2 + 2 + 1 +1 = 6$.
La moyenne vaut :
$\overline{x} = \dfrac{2 \times 8 + 2 \times 9 + 1 \times 10 + 1 \times 11}{6} \approx 9,2$.
La variance vaut
$V = \dfrac{2(8 – 9,2)^2 + 2(9 – 9,2)^2 + 1(10 – 9,2)^2 + 1(11 – 9,2)^2}{6} \approx 1,14$.
L’écart type vaut donc
$\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{1,14} \approx 1,1$.
Interprétation
L’écart type représente l’écart moyen des notes par rapport à la moyenne générale.
Cela signifie donc qu’en moyenne dans ce groupe d’élèves, chacun a un écart d’environ 1 point par rapport à la moyenne.
L’écart type est ici peu élevé. En effet, les notes sont relativement rassemblées autour de la moyenne : il n’y a pas de dispersion.
Ainsi, l’écart type sert à quantifier la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.