Vecteur normal à une droite

Vecteur normal à une droite

Une droite peut être définie à partir d’un de ses vecteurs directeurs. ($\overrightarrow{u}$ sur la figure)

Elle peut également l’être à partir de l’un de ses vecteurs normaux. ($\overrightarrow{n}$ sur la figure)

I. Définition d’un vecteur normal à une droite

Qu’est-ce qu’un vecteur normal ?

Un vecteur normal est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de la droite.

Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal est normal à la droite.

Soient $M$ un point quelconque de la droite $(d)$, $A$ un point appartenant à la droite.

Si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à cette droite, alors :

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0$.

II. Vecteur normal et équation cartésienne de droite

On se place dans un repère.

On peut donc écrire les coordonnées des différents éléments précédents :

$\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right )$, $M(x; y)$ et $A(x_A; y_A)$.

L’équation $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0$ permet de trouver une équation cartésienne de la droite $(d)$ de la forme

$(d) : ax + by + c = 0$, avec $c = -a x_A – b y_A$.

Cette équation cartésienne n’est pas unique à l’inverse de l’équation réduite ($y = ax + b$) qui est unique.

Exemple :

On considère l’équation cartésienne suivante $4x + 2y – 6 = 0$.

D’après le cours, on peut lire les coordonnées d’un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ à partir de cette équation : ainsi

$\overrightarrow{n}\left ( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ \end{array} \right )$.

Un coefficient directeur $\overrightarrow{u}$ d’une droite d’équation réduite $y = ax + b$ est $\overrightarrow{u}\left ( \begin{array}{c} 1 \\ a\\ \end{array} \right )$.

Ainsi, un coefficient directeur de la droite d’équation $y = -2x + 3$ est $\overrightarrow{u}\left ( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ \end{array} \right )$.