Vitesse : calcul de distance
Vitesse : calcul de distance
Calcul de distance
Définition
La formule de la vitesse est la suivante : $V = \dfrac{D}{T}$ où $V$ est la vitesse, $D$ la distance et $T$ le temps.
Exemple
Anna marche à une vitesse moyenne de 5,4 km/h.
a) Quelle est la distance qu’elle a parcourue en 2 h 30 ?
Il existe plusieurs façons de trouver la distance qu’elle a parcourue.
La première se résume à utiliser la formule, en isolant la distance $D$ : $D = V \times T$.
Ici, la vitesse est exprimée en km/h, le temps doit donc être exprimé en heure. Il faut convertir 30 minutes en heure, en sachant que 0,5 h = 30 min.
Ainsi, $D = 5{,}4 \times 2{,}5 = 13{,}5$. Anna a donc parcouru 13,5 km.
La seconde façon d’obtenir la distance est d’utiliser la proportionnalité entre la distance et le temps.
On sait qu’Anna a une vitesse de 5,4 km/h. Cela signifie qu’elle parcourt 5,4 km en 1 heure. Le tableau suivant peut être rempli avec ces données :
| $D$ (en km) | 5,4 | ? |
| $T$ (en h) | 1 | 2,5 |
Ainsi, pour calculer la distance : $2{,}5 \times 5{,}4 \div 1 = 13{,}5$.
b) On cherche à présent la distance parcourue en 1 h 37.
Pour commencer, il convient de convertir 1 h 37 en heure décimale, ce qui revient à convertir 37 minutes en heure.
Pour rappel, 60 minutes sont égales à 1 heure. Grâce à ces données, on dresse le tableau de proportionnalité :
| Minutes | 60 | 37 |
| Heure | 1 | ? |
Ainsi, il faut effectuer le calcul suivant :
$37 \times 1 \div 60 = \dfrac{37}{60}$.
Pour finir, on refait une nouvelle fois un tableau de proportionnalité pour trouver la distance, où on préférera repartir des données initiales pour éviter les erreurs.
| $D$ (en km) | 5,4 | ? |
| $T$ (en h) | 1 | 1 + $\dfrac{37}{60}$ |
Ainsi : $D = \left (1 + \dfrac{37}{60} \right) \times 5{,}4 \div 1 = 8{,}73$.
Anna a donc marché 8,73 km.
Vitesse : calcul du temps
Calcul de temps
Rappel
Pour calculer la vitesse, il faut utiliser la formule suivante :
$\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$, avec $V$ la vitesse, $D$ la distance et $T$ le temps.
Exemple
On va démontrer le calcul du temps à partir de sa formule.
Un avion vole à 900 km/h. Combien de temps lui faut-il pour parcourir 1 340 km ?
Il y a deux méthodes possibles pour répondre à la question. La première se résume à appliquer directement la formule, en n’oubliant pas d’isoler le temps :
$\text{T} = \dfrac{\text{D}}{\text{V}} = \dfrac{1\ 340}{900} \approx 1{,}49 $h.
Ici, la vitesse est exprimée en km/h et la distance en kilomètres, le temps sera donc exprimé en heure. Toutefois, le résultat brut n’est pas évident car nous ne parlons généralement pas uniquement en heure. Il convient donc de convertir ce résultat en heure et minutes.
$\begin{aligned} 1{,}49 \text{ h } &=& 1 \text{ h } + 0{,}49 \text{ h } \\
&=& 1 \text{ h } + 0{,}49 \times 60 \text{ min } \\ &=& 1 \text{ h } 29 \text{ min } + 0{,}4 \text{ min } \\ &=& 1\text{ h } 29 \text{ min } + 0{,}4 \times 60 \text{ s }\\ &=& 1\text{ h } 29 \text{ min } 24 \text{ s} \end{aligned}$
Cependant, le calcul ne peut pas être donné avec autant de précision. En effet, le temps initial a été arrondi. Il faudra donc dire que l’avion a parcouru 1 340 km en 1 h 30 environ.
La deuxième méthode pour répondre à cette question est la proportionnalité entre la distance et le temps de parcours. D’après les données, l’avion vole à 900 km/h. En 1 heure, il fait donc 900 km. On peut donc remplir le tableau de proportionnalité suivant :
| $D$ (en km) | 900 | 1 340 |
| $T$ (en h) | 1 | ? |
Pour passer de la ligne du haut à celle du bas, il faut diviser par 900.
Ainsi, pour calculer le temps on utilise le rapport suivant : $\dfrac{1\ 340}{900}$.
On retrouve alors le calcul précédent.
Autre exemple
Imaginons deux trajectoires successives d’une voiture. Elle effectue une première trajectoire de 82 km en 2 heures, puis une seconde de 354 km en 2 h 30. On aimerait calculer la vitesse de la voiture sur la totalité du trajet.
Pour commencer, on chercherait les vitesses sur chacune des trajectoires.
Sur la première trajectoire, la vitesse est donnée par :
$\text{V}_1 = \dfrac{\text{D}_1}{\text{T}_1} = \dfrac{82}{2} = 41 $km/h
Sur la seconde trajectoire, la vitesse est donnée par la formule suivante :
$\text{V}_2 = \dfrac{\text{D}_2}{\text{T}_2} $, en n’oubliant pas de convertir le temps en heure !
$\text{V}_2 = \dfrac{354}{2{,}5} = 141{,}6$ km/h.
Il faudrait ensuite faire la moyenne des vitesses, c’est-à-dire $\dfrac{\text{V}_1 + \text{V}_2}{2} = 91{,}3$ km/h.
Néanmoins, le résultat obtenu n’est pas correct !
Afin d’obtenir le bon résultat, il faut revenir à la formule initiale qui est :
$\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$, avec $D$ qui correspond à la distance totale du parcours et $T$ à la durée totale.
Ainsi, $ \text{V} = \dfrac{82 + 354}{2 + 2{,}5} \approx 97$ km/h.
Vitesse : calcul de vitesse
Calcul de vitesse
Définition
On sait que la vitesse notée $V$ est égale au quotient de la distance $D$ par le temps $T$, c’est-à-dire que la vitesse est définie par $V = \dfrac{D}{T}$.
La vitesse s’exprime en kilomètres par heure, que l’on écrit km/h ou km.$^{-1}$.
Or, un kilomètre correspond à une distance et une heure à une durée. La vitesse correspond donc au rapport d’une longueur sur un temps.
Quand la vitesse est exprimée en mètres par seconde (m/s), alors la distance est exprimée en mètres (m) et le temps en secondes (s).
À partir de cette relation, on peut calculer la distance en connaissant le temps et la vitesse par la relation $ D = V \times T$.
On peut aussi calculer le temps en connaissant la distance et la vitesse grâce à la relation $T = \dfrac{D}{V}$.
Exemple
Une moto fait 853 km en 8 heures. Quelle est sa vitesse moyenne sur ce trajet ?
La vitesse obtenue par la formule précédente est une vitesse moyenne dans le cas où la moto ne roule pas toujours à la même allure lors de son parcours.
Il y a deux façons différentes de trouver sa vitesse.
Tout d’abord, il est possible d’utiliser la formule : $V = \dfrac{D}{T} = \dfrac{853}{8} = 106{,}625 \approx 107$ km/h.
Ensuite, il est aussi possible de recourir à un tableau de proportionnalité :
| $D$ (en km) | 853 | ? |
| $T$ (en h) | 8 | 1 |
On calcule la vitesse à partir de la distance parcourue en 1 heure.
Donc, $V = 1 \times 853 \div 8 = 106{,}625 \approx 107$ km/h.