Vitesse, distance et temps
Vitesse, distance et temps
Ce cours du chapitre Grandeurs composées et unités traite de la vitesse, de la distance et du temps. Dans un premier temps, il en donne les définitions et les formules, puis explique comment les calculer grâce à des exemples.
Vitesse, distance et temps : ce que tu vas réviser
- Formule vitesse, temps, distance
- Calculs temps, vitesse, distance
- Formule de la distance
- Formule du temps
- Formule de la vitesse
I – Formule vitesse, temps, distance
Quelle est la formule vitesse, distance, temps ?
La vitesse, la distance et le temps sont reliés par une formule, à connaître par cœur :
$V=\dfrac{D}{T}$.
La vitesse est donc égale à la distance divisée par le temps.
Exemple
En voiture, on roule par exemple à $40$ km/h, on effectue donc le rapport de la distance (kilomètres) par le temps (heure).
II – Calculs temps, vitesse, distance
1) Dans certains cas, on peut être amené à calculer la distance parcourue pendant un temps donné à une vitesse donnée.
Il faut donc isoler $\text{D}$ dans la formule, en utilisant l’égalité des produits en croix et en se rappelant que $\text{V} = \dfrac{\text{V}}{1}$.
On obtient alors que :
$\text{D} \times 1 = \text{D} = \text{V} \times \text{T}$
La distance est donc égale au produit du temps par la vitesse.
Il est conseillé de ne pas apprendre par cœur cette formule, pour ne pas se tromper, mais plutôt de connaître la démarche permettant de la retrouver à partir de la formule de la vitesse.
2) On peut aussi calculer le temps en connaissant la vitesse et la distance.
On obtient alors $\text{T} = \dfrac{\text{D}}{\text{V}}$.
Le temps est égal à la distance divisée par la vitesse.
Enfin, il faut avoir une cohérence des unités pour ne pas obtenir un mauvais résultat.
Il existe différentes unités pour mesurer une distance (mètre, kilomètre, etc.) de même que pour le temps (seconde, heure, etc.).
Le choix effectué pour les unités de la distance et du temps impose l’unité de la vitesse.
De même, si on choisit l’unité de la vitesse, les unité du temps et de la distance sont imposées.
| Unité Vitesse | Unité Distance | Unité Temps |
| km/h | kilomètre | heure |
| m/s | mètre | seconde |
Exemples
1) Une voiture roule à 45 km/h. Quelle distance aura-t-elle parcouru en 2 heures ?
Ici, on connaît la vitesse et le temps, on cherche donc la distance.
En appliquant la même démarche que dans le cours, on trouve que :
$\text{D} = \text{V} \times \text{T}$.
L’unité de la vitesse est km/h et l’unité du temps est l’heure, la cohérence est respectée : la distance sera exprimée en kilomètres.
$\text{D} = 45 \times 2 = 90$ km.
2) Un cycliste parcourt 2 kilomètres en 15 minutes. Quelle est sa vitesse en km/h ?
La vitesse est donnée par la formule $\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$.
On souhaite exprimer la vitesse en km/h. Il faut donc convertir 15 minutes en heure.
Or 15 minutes correspondent à un quart d’heure.
Ainsi, $\text{V} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8\ $km/h.
3) La lumière possède une vitesse de $V = 3 \times 10^8$ m/s. La distance Soleil-Terre vaut $D = 150 \times 10^6$ km. Quel temps faut-il à la lumière pour arriver à la surface de la Terre ?
La formule est $\text{T} = \dfrac{\text{D}}{\text{V}}$.
On doit convertir la distance en mètre car la vitesse est donnée en m/s.
Ainsi, $D = 150 \times 10^9$ m.
On trouve alors $\text{T} = \dfrac{150 \times 10^9}{3 \times 10^8} = 500\ $s.
Or 60 secondes sont égales à 1 minute, par produit en croix on trouve donc que $\text{T} = 500 \times {1} \div 60 \approx 8$ min.
Pour aller plus loin dans Grandeurs composées et unités
Après avoir étudié ce cours, nous te conseillons de poursuivre avec ces autres notions :
Formule de la distance
Comment calculer la distance avec la vitesse et le temps ?
La vitesse est donnée par la formule $V = \dfrac{D}{T}$ où $V$ est la vitesse, $D$ la distance et $T$ le temps.
Exemple
Une personne marche à une vitesse moyenne de 5,4 km/h.
a) Quelle distance parcourt-elle en 2 h 30 min ?
Il existe différentes manières de déterminer la distance parcourue.
La première consiste à utiliser la formule, en isolant la distance $D$ :
$D = V \times T$
Or la vitesse est exprimée en km/h, le temps doit donc être exprimé en heure. Il faut donc convertir 30 minutes en heure. On sait aussi que 0,5 h = 30 min.
Ainsi, $D = 5{,}4 \times 2{,}5 = 13{,}5$. La personne parcourt donc 13,5 km.
On peut aussi utiliser la proportionnalité entre la distance et le temps pour trouver la distance.
On sait que la personne a une vitesse de 5,4 km/h. Cela signifie qu’elle parcourt 5,4 km en une heure. On peut alors remplir le tableau.
| $D$ (en km) | 5,4 | ? |
| $T$ (en h) | 1 | 2,5 |
Ainsi, la distance se calcule en effectuant le calcul $2{,}5 \times 5{,}4 \div 1 = 13{,}5$.
b) On cherche à présent la distance parcourue en 1 h 37 min.
Il faut donc d’abord convertir 1 h 37 min en heure décimale, ce qui revient à convertir 37 minutes en heure. On se souvient alors que 60 minutes sont égales à une heure. On peut alors dresser le tableau de proportionnalité suivant :
| Minutes | 60 | 37 |
| Heure | 1 | ? |
Ainsi, on doit effectuer le calcul suivant :
$37 \times 1 \div 60 = \dfrac{37}{60}$.
Enfin, on utilise à nouveau un tableau de proportionnalité pour trouver la distance, où on préférera repartir des données initiales pour éviter les erreurs.
| $D$ (en km) | 5,4 | ? |
| $T$ (en h) | 1 | 1 + $\dfrac{37}{60}$ |
Ainsi, $D = \left (1 + \dfrac{37}{60} \right) \times 5{,}4 \div 1 = 8{,}73$.
La personne a donc parcouru 8,73 km.
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Formule du temps
Comment calculer le temps avec la vitesse et la distance ?
Pour rappel, la formule de la vitesse est la suivante :
$\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$, avec $V$ la vitesse, $D$ la distance et $T$ le temps.
Exemple
On va illustrer ici le calcul du temps à partir de la formule précédente.
Un avion vole à 900 km/h. Combien de temps met-il pour parcourir 1 340 km ?
La première méthode consiste à appliquer directement la formule, en isolant le temps :
$\text{T} = \dfrac{\text{D}}{\text{V}} = \dfrac{1\ 340}{900} \approx 1{,}49\ $h.
Comme la vitesse est exprimée en km/h et que la distance est exprimée en kilomètres, le temps est exprimé en heure. Cependant, le résultat brut n’est pas pratique car nous sommes peu habitués à parler uniquement en heure. Il faut donc convertir ce résultat en heure et minutes.
$\begin{aligned} 1{,}49\ \text{ h } &=& 1 \text{ h } + 0{,}49 \text{ h } \\
&=& 1 \text{ h } + 0{,}49 \times 60 \text{ min } \\ &=& 1 \text{ h } 29 \text{ min } + 0{,}4 \text{ min } \\ &=& 1\text{ h } 29 \text{ min } + 0{,}4 \times 60 \text{ s }\\ &=& 1\text{ h } 29 \text{ min } 24 \text{ s} \end{aligned}$
Néanmoins, le calcul ne peut pas être exprimé avec autant de précision car on a arrondi le temps initial. On dira donc que l’avion a parcouru 1 340 km en 1 h 30 environ.
On peut aussi utiliser la proportionnalité entre la distance et le temps de parcours. On sait que l’avion vole à 900 km/h, il parcourt donc 900 km en une heure.
| $D$ (en km) | 900 | 1 340 |
| $T$ (en h) | 1 | ? |
On passe de la première ligne à la seconde en divisant par 900.
Ainsi, le temps que l’on souhaite calculer se trouve en faisant le rapport suivant : $\dfrac{1\ 340}{900}$
On retrouve alors le calcul précédent.
Autre exemple
On s’intéresse maintenant à deux parcours successifs d’un véhicule.
Il effectue un premier parcours de 82 km en 2 heures, puis un second de 354 km en 2 heures 30 min. On souhaite calculer la vitesse du véhicule sur l’ensemble du trajet.
Spontanément, on calculerait les vitesses sur chacun des tronçons.
Sur le premier tronçon, la vitesse est donnée par :
$\text{V}_1 = \dfrac{\text{D}_1}{\text{T}_1} = \dfrac{82}{2} = 41\ $km/h
Sur le second tronçon, la vitesse est donnée par la formule suivante :
$\text{V}_2 = \dfrac{\text{D}_2}{\text{T}_2} $, en prenant soin de convertir le temps en heure !
$\text{V}_2 = \dfrac{354}{2{,}5} = 141{,}6$ km/h.
On ferait ensuite la moyenne des vitesses, c’est-à-dire :
$\dfrac{\text{V}_1 + \text{V}_2}{2} = 91{,}3$ km/h
Cependant, on n’obtient pas le bon résultat !
Pour trouver le bon résultat, il faut revenir à la formule initiale qui est $\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$, avec $D$ qui correspond à la distance totale du parcours et $T$ la durée totale.
Ainsi, $ \text{V} = \dfrac{82 + 354}{2 + 2{,}5} \approx 97$ km/h.
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Formule de la vitesse
Comment calculer la vitesse avec la distance et le temps ?
La vitesse $V$ est égale au quotient de la distance $D$ par le temps $T$, c’est-à-dire que la vitesse est définie par $V = \dfrac{D}{T}$.
La vitesse est exprimée en kilomètres par heure que l’on note km/h ou encore km.$^{-1}$.
Or un kilomètre correspond à une distance et une heure à une durée, ainsi la vitesse correspond au rapport d’une longueur sur un temps.
Si la vitesse est exprimée en mètres par seconde (m/s), alors la distance sera exprimée en mètre (m) et le temps en secondes (s).
À partir de cette relation, il est possible de calculer la distance connaissant le temps et la vitesse par la relation $ D = V \times T$.
Il est également possible de calculer le temps en connaissant la distance et la vitesse grâce à la relation suivante $T = \dfrac{D}{V}$.
Exemple
Une voiture parcourt 853 km en 8 heures. Quelle est sa vitesse moyenne sur ce parcours ?
La vitesse obtenue par la formule précédente est une vitesse moyenne dans le cas où la voiture ne roule pas toujours à la même allure lors de son trajet.
Pour répondre à la question, deux méthodes sont possibles. On peut soit utiliser la formule soit utiliser un tableau de proportionnalité. Les deux cas seront présentés.
On utilise dans un premier temps la formule $V = \dfrac{D}{T} = \dfrac{853}{8} = 106{,}625 \approx 107$ km/h.
On peut utiliser également la proportionnalité de la distance parcourue et de le temps de parcours :
| $D$ (en km) | 853 | ? |
| $T$ (en h) | 8 | 1 |
La vitesse s’obtient à partir de la distance parcourue en 1 heure.
Ainsi, $V = 1 \times 853 \div 8 = 106{,}625 \approx 107$ km/h.
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