BOOST MATHS - FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

Fonctions linéaires et affines

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme : $f(x) = ax + b$ 

Le nombre $a$ est le coefficient directeur de la droite, c'est à dire celui qui donne la pente de la droite, $x$ est la variable.

Le nombre $b$ l'ordonnée à l'origine, c'est à dire la valeur de la fonction lorsque $x = 0$.

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où $b = 0$ :

$g(x) = ax$, il s'agit d'une droite passant par l'origine. 

Variations de fonctions affines

Si le coefficient directeur est strictement positif, alors la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Si le coefficient directeur est strictement négatif, alors la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

Si le coefficient directeur est nul, $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ dont la représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Signe de $f(x)$

On regarde pour quelles valeurs de $x$ la fonction est négative et pour quelles valeurs elle est positive.

Dans les deux cas, si $a \neq 0$, la fonction $f$ s'annule en $x = \dfrac{-b}{a}$. 

Si $a>0$, le tableau est le suivant :

Si $a<0$, le tableau est le suivant :

Exemple

La fonction rouge est la fonction $f(x) = 0.5x + 2$. Son ordonnée à l'origine est 2.

Le coefficient directeur vaut $0.5 > 0$ donc $f$ est croissante.

La fonction $f$ s'annule pour $x = \dfrac{-2}{0.5} = -4$. Elle est négative pour $x< -4$ et positive pour $x>-4$.