BOOST MATHS - FONCTIONS, ANTÉCÉDENTS

Antécédent d'un nombre par une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction et deux réels $a$ et $b$ vérifiant $f(a)=b$

On dit que $b$ est l'image de $a$ par $f$. (c'est une valeur unique)

On dit que $a$ est un antécédent par $f$ de $b$. (il peut y en avoir plusieurs)

Exemples

Cherchons le ou les antécédents, s'ils existent de $14$

Cela revient à chercher l'heure à laquelle la température était de 14°C.

Pour ce faire, on se place sur l'axe des ordonnées (l'axe des températures ici) et on trace la droite perpendiculaire à cet axe puis on regarde les points d'intersection entre la droite et la courbe de température et finalement, on lit leur abscisse.

Ici, il y a deux points d'intersections pour lesquels la température est de 14°C et donc deux heures différentes : 12h et 18h.  

Il se peut que dans certains cas il n'y ait aucune solution. 

Mathématiquement, le fait qu'il ait fait 14°C à 12h et 18h se traduit par :

Les antécédents de 14 par la fonction $f$ sont 12 et 18.

Ou encore :  les solutions de l'équation $f(t) = 14$ sont $S = \{12; 18\}$.

Considérons l'équation $f(t) = 10$ : on cherche donc les antécédents de 10 par $f$.

Les solutions sont donc $S = \{0; 6; 24\}$. 

Considérons l'équation $f(t) = 16$ : on cherche donc les antécédents de 16 par $f$.

La température de 16°C n'étant jamais atteinte, cette équation n'admet pas de solution : 

$S = \varnothing$.