BOOST MATHS - TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

Trigonométrie

La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

Vocabulaire

L'hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l'angle droit.

Le côté touchant l'angle $\widehat{B}$ autre que l'hypoténuse est appelé le côté adjacent.

Le côté en face de l'angle $\widehat{B}$ est appelé le côté opposé.

On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{B}$ par :

$\cos \widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

$\sin \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\tan \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :

CAH-SOH-TOA :

Cosinus =  Adjacent divisé par l'Hypoténuse,

Sinus = Opposé divisé par l'Hypoténuse,

Tangente = Opposé divisé par Adjacent

Propriétés

Le cosinus et le sinus d'un angle sont reliés par la relation suivant : $(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = 1$

Enfin, la tangente d'un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l'angle : 

$\tan \widehat{B} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}$

Exemple : 

On cherche la valeur de l'angle $\widehat{M}$.

Il s'agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Ici, l'hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. 

Ainsi, $\cos \widehat{M} = \dfrac{MO}{MP}$

$\cos \widehat{M} = \dfrac{6}{11}\approx 0,545$

Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l'angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $\widehat{M} \approx 56,9°$