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ANNALE - DÉRIVATION D'UNE FONCTION POLYNÔME

Exercice d'application


Annales

  • Dans un disque en carton de rayon $R$, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure $\alpha$ radians.

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    Annales : Bac S

    On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle $\alpha$ pour obtenir un cône de volume maximal. On appelle $l$ le rayon de la base circulaire de ce cône et $h$ sa hauteur.

    On rappelle que :

    — le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire $A$ et de hauteur $h$ est $V=\dfrac{1}{3}A\times$ h .

    — la longueur d’un arc de cercle de rayon $r$ et d’angle $θ$, exprimé en radians, est $rθ$.

     

    1. On choisit $R = 20$ cm.

    a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est $V (h) = \dfrac{1}{3}\pi (400−h^2)\times h$.

    b. Justifier qu’il existe une valeur de $h$ qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

    c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de $\alpha$ au degré près.

     

    2. L’angle $\alpha$ dépend-il du rayon $R$ du disque en carton ?

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