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DÉRIVÉES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice - Trigonométrie et dérivations



L'énoncé

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée.


  • Question 1

    Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2\cos(x)\).

    \(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par :

    \(f'(x) = x(2\cos(x)-x\sin(x))\)

  • Question 2

    Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sin(x) \times \cos(x)\)

    \(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = \cos(2x)\)

  • Question 3

    \(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sin^3(x)\)

    \(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = 3 \sin^2(x)\)

  • Question 4

    \(f\) est la fonction définie sur \(I = \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) par :\(f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\)

    \(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\)

  • Question 5

    \(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}^{*+}\) par: \(f(x) = \dfrac{\cos(x)}{x}\)

    alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\dfrac{x\sin(x)+\cos(x)}{x^2}\)

  • Question 6

    \(f\) est une  fonction définie sur un intervalle non donné par : \(f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}\)

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\)

  • Question 7

    \(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \cos(3x - \frac{\pi}{4})\)

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\sin( 3x-\frac{\pi}{4})\)

  • Question 8

    \(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sin(2x)\)

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = 4\cos(x)\)

  • Question 9

    \(f\) est la fonction définie sur sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = 1+\sin(x)+\cos(x)+\sin(x) \times \cos(x)\)

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = (\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)+1)\)

  • Question 10

    \(f\) est la fonction définie sur \(I=\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\cos^2(x) \times \cos(2x)\)

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x)=-2\cos(x) \times \sin(3x)\)

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