CROISSANCE COMPARÉES $E^X$ ET $X^N$

Croissances comparées

Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :

1. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ ;             $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty$

2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} xe^x =0$ ;                $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} x^ne^x =0$

A savoir aussi :

3. $ \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac {e^x-1}{x}=1$

Exercice 1

Calculer : $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3 -e^x$.

Corrigé 

• étape 1 : On s'interroge sur la présence de formes indéterminées.
  Il y en a une de la forme $\infty-\infty$.
• étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
  $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} e^x(\frac{x^3}{e^x}-1)$
• étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
  
  On sait que $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty$.
  
  Donc $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3}{e^x} =\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{e^x}{x^3}}= 0$.

Le terme entre parenthèses tend donc vers $-1$.

• étape 4 : Par produit de limites, on conclut donc :
  $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3 -e^x= -\infty$

Exercice 2

Calculer : $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x-x}{2e^x+3}$.

Corrigé

• étape 1 : On s'interroge sur la présence de formes indéterminées.

Il y en a au moins une au numérateur (de la forme $\infty-\infty$).

• étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
  
  $\displaystyle\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x-x}{2e^x+3}=\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x(1-\frac{x}{e^x})}{e^x(2+\frac{3}{e^x})} = \displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1-\frac{x}{e^x}}{2+\frac{3}{e^x}}$
• étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$  et $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{3}{e^x}=0 $

• étape 4 : le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $2$. On conclut donc :

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x-x}{2e^x+3}= \frac{1}{2}$